柯西不等式如何推广,关于柯西不等式在高中的运用。

最后更新 : 2021.05.15  

柯西不等式可以简单地记做柯西不等式如何推广:平方和的积 ≥ 积的和的平方。它是对两列数不等式。取等号的条件是两列数对应成比例。

柯西不等式如何推广,关于柯西不等式在高中的运用。插图

如:两列数

柯西不等式如何推广,关于柯西不等式在高中的运用。插图1

0,1

2,3

(0^2 + 1^2) * (2^2 + 3^2) = 26 ≥ (0*2 + 1*3)^2 = 9.

形式比较简单的证明方法就是构造一个辅助函数,这个辅助函数是二次函数,于是用二次函数取值条件就得到Cauchy不等式。

还有一种形式比较麻烦的,但确实很容易想到的证法,就是完全把Cauchy不等式右边-左边的式子展开,化成一组平方和的形式。

我这里只给出前一种证法。

Cauchy不等式的形式化写法就是:记两列数分别是ai, bi,则有

(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.

我们令

f(x) = ∑(ai + x * bi)^2

= (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)

则我们知道恒有

f(x) ≥ 0.

用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有

Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 – 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.

于是移项得到结论。

学了更多的数学以后就知道,这个不等式可以推广到一般的内积空间中,那时证明的书写会更简洁一些。我们现在的证明只是其中的一个特例罢了。

怎样能够熟练的运用柯西不等式解题

一.公式基本结构

设ai、bi∈R,(i=1,2,3……,n)

(a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn)2≦(a12+ a22+a32 +…+an2)(b12 +b22+b32+…+bn2)

当且仅当bi=kai(i=1,2,……,n)时,k为常数 时等号成立

二阶形式(a1b1+a2b2)2≦(a12+ a22)(b12 +b22)

三阶形式(a1b1+a2b2+a3b3)2≦(a12+ a22+a32)(b12 +b22+b32)

二.证明

先证明较简单的情况(以三阶形式为例,用构造法证明)

构造f(x) =(a12+ a22+a32)x2+2(a1b1+a2b2+a3b3)x+(b12 +b22+b32)

=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+(a3x+b3)2≥0

△=4(a1b1+a2b2+a3b3)2-4(a12+ a22+a32)(b12 +b22+b32)

对于任意的x∈R等式恒成立, ∴△≤0,∴当且仅当 时,取“=”

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